定点数优化提升运算性能

// 将整型转换为定点数，通过将整数左移16位来实现
#define cfixed_from_int(i)      (((cfixed)(i)) << 16)

// 将浮点数转换为定点数，乘以65536.0后转换为cfixed类型
#define cfixed_from_float(x)    ((cfixed)((x) * 65536.0f))

// 将双精度浮点数转换为定点数，乘以65536.0后转换为cfixed类型
#define cfixed_from_double(d)   ((cfixed)((d) * 65536.0))

// 将定点数转换为整型，通过右移16位实现
#define cfixed_to_int(f)        ((f) >> 16)

// 将定点数转换为浮点数，除以65536.0f后转换为float类型
#define cfixed_to_float(x)      ((float)((x) / 65536.0f))

// 将定点数转换为双精度浮点数，除以65536.0后转换为double类型
#define cfixed_to_double(f)     ((double)((f) / 65536.0))

// 定义定点数的1，将整数1左移16位
#define cfixed_const_1          (cfixed_from_int(1))

// 定义定点数的0.5，将cfixed_const_1右移1位
#define cfixed_const_half       (cfixed_const_1 >> 1)

// 定义定点数的e (自然对数的底数)，这里有误，应该使用cfixed_from_float(math_e)，这里简化成了1
#define cfixed_const_e          ((cfixed)(1))

// 定义定点数的(1 - e)，计算1减去自然对数的底数e
#define cfixed_const_1_m_e      (cfixed_const_1 - cfixed_const_e)

// 获取定点数的小数部分，与(1 - e)进行按位与操作
#define cfixed_frac(f)          ((f) & cfixed_const_1_m_e)

// 获取定点数的整数部分，通过将小数部分清零实现
#define cfixed_floor(f)         ((f) & (~cfixed_const_1_m_e))

// 获取定点数的向上取整结果，对f加上0xffff后取整数部分
#define cfixed_ceil(f)          (cfixed_floor((f) + 0xffff))

// 定点数乘法运算，将x转为64位整数与y相乘后再右移16位得到结果
#define cfixed_mul(x, y)        ((cfixed)((((int64_t)(x)) * (y)) >> 16))

// 定点数除法运算，将x转为64位整数左移16位后除以y得到结果
#define cfixed_div(x, y)        ((cfixed)((((int64_t)(x)) << 16) / (y)))

// 定义定点数能表示的最大整数值
#define cfixed_const_max        ((int64_t)0x7fffffff)

// 定义定点数能表示的最小整数值
#define cfixed_const_min        (-((((int64_t)1) << 31)))

// 定义cfixed类型为32位有符号整数
typedef int32_t cfixed;

背景

在 Cortex-M0、M0+ 等无硬件浮点单元（FPU）的 MCU 上，float 运算依赖软件库，单次乘除可能消耗数十个时钟周期。将数值表示为定点整数后，乘除退化为整数运算，在精度可接受的前提下能显著降低延迟和代码体积。

本文给出一组 16.16 定点数的 C 宏定义，作为快速原型或教学参考。代码为简化版本，未经编译验证，也未在目标硬件上测试，直接用于生产前需逐项审查。

16.16 定点数格式

cfixed 底层是 int32_t，高 16 位存整数部分，低 16 位存小数部分：

• 整数 1 表示为 1 << 16 = 0x00010000
• 小数 0.5 表示为 0x00008000
• 可表示范围约为 [-32768, 32767.99998]
• 最小分辨率为 1/65536 ≈ 1.5 × 10⁻⁵

选择 16.16 是整数位与小数位各占一半的折中；若应用偏重小数精度，可改为 8.24 或 12.20，但需同步调整所有移位常量。

类型定义与转换

typedef int32_t cfixed;

转换宏的核心思路：

注意事项：

• cfixed_from_float / cfixed_from_double 使用 C 的向零截断，不做四舍五入。若精度敏感，应改为 (cfixed)lroundf(x * 65536.0f)。
• cfixed_to_float / cfixed_to_double 内部仍调用浮点除法，仅适合调试打印或最终输出，不应出现在热路径中。热路径中若必须输出浮点，可拆成整数部分和小数部分分别处理。
• cfixed_from_int 不仅要检查 [-32768, 32767] 的范围；在 ISO C 中，对负的有符号整数做左移本身就是未定义行为。更稳妥的实现是先扩展到 int64_t，乘以 65536，做范围检查后再转回 cfixed。

基本运算

#define cfixed_mul(x, y)  ((cfixed)((((int64_t)(x)) * (y)) >> 16))
#define cfixed_div(x, y)  ((cfixed)((((int64_t)(x)) << 16) / (y)))

• 乘法：先提升到 int64_t 避免 32 位中间结果溢出，乘完右移 16 位恢复缩放。当 |x|、|y| 均接近 INT32_MAX 时，64 位中间值最大约 2⁶²，仍在 int64_t 范围内，安全。
• 除法：原宏先把 (int64_t)x 左移 16 位。数值范围虽然通常不会撑破 int64_t，但 x < 0 时对负的有符号整数左移在 ISO C 中是未定义行为。可改用 (int64_t)x * 65536 并在运算前检查 y != 0和结果范围。
• 两个宏中 >> 16 作用于 int64_t。C 标准规定对有符号负数右移是实现定义的，在 GCC/Clang 下为算术右移，但移植到非主流编译器时需查阅目标编译器文档确认。

取整与取小数

#define cfixed_const_1       (cfixed_from_int(1))   // 0x00010000
#define cfixed_const_half    (cfixed_const_1 >> 1)  // 0x00008000
#define cfixed_frac(f)       ((f) & cfixed_const_1_m_e)
#define cfixed_floor(f)      ((f) & (~cfixed_const_1_m_e))
#define cfixed_ceil(f)       (cfixed_floor((f) + 0xffff))

命名歧义说明： cfixed_const_e 被定义为 ((cfixed)(1))，即裸整数 1。在 Q16.16 格式中，裸整数 1 代表最小分辨率 1/65536（可理解为 epsilon），而非自然常数 e ≈ 2.718。代码注释也承认了命名上的简化。关键在于算术结果：

• cfixed_const_1 = 1 << 16 = 0x00010000
• cfixed_const_e = 1（裸整数，即 Q16.16 中的 1/65536）
• cfixed_const_1_m_e = 0x00010000 - 1 = 0x0000FFFF

因此 cfixed_const_1_m_e 恰好是低 16 位掩码，cfixed_frac 和 cfixed_floor 的运算结果是正确的。命名容易误导读者以为此处涉及自然常数，但实际算术无误。

为消除歧义，更清晰的写法是直接使用显式掩码：

#define cfixed_frac_mask     0x0000FFFF
#define cfixed_frac(f)       ((f) & cfixed_frac_mask)
#define cfixed_floor(f)      ((f) & ~cfixed_frac_mask)

这与原代码功能等价，但意图一目了然。

cfixed_ceil 利用“加低 16 位掩码后再清零小数位”实现向上取整。在常见的二进制补码与算术右移环境中，它对正负数都可得到预期方向；但接近 INT32_MAX 时的加法可能溢出，且该位运算依赖补码表示，应专门测试边界。

范围常量

#define cfixed_const_max  ((int64_t)0x7fffffff)
#define cfixed_const_min  (-((((int64_t)1) << 31)))

这两个常量声明为 int64_t，但 cfixed 本身是 int32_t，类型不一致。若意图是表示 cfixed 能容纳的整数部分范围，应为 [-32768, 32767]；若意图是 int32_t 存储的完整边界，则当前值正确但类型应为 int32_t。建议根据实际用途统一类型或重命名，避免隐式截断。

风险与边界汇总

适用场景

• 无 FPU 的 MCU 上实现 PID、数字滤波、坐标变换等迭代计算
• 对延迟有硬实时要求、不允许浮点库开销的场合
• 教学或原型阶段快速验证算法

不适合： 需要大动态范围（如科学计算）、频繁出现极小/极大值、或精度要求超过 16 位小数的场景。此时应考虑 Q 格式调整、双精度定点或引入 FPU。

验证建议

1. 用单元测试覆盖边界值：0、±1、±32767、±32767.99998、INT32_MIN、INT32_MAX。
2. 对 cfixed_mul 和 cfixed_div 与 double 参考实现做逐位对比，确认误差在 1 ULP 以内。
3. 在目标 MCU 上用 DWT CYCCNT（若内核支持）或硬件定时器实测关键路径延迟，确认优化收益。
4. 开启 -Wall -Wextra -Wconversion 编译，检查隐式截断和符号转换警告。

小结

16.16 定点数是无 FPU 平台上替代浮点的常用手段，核心优势在于运算可预测、无库依赖。本文给出的宏集合覆盖了基本转换和四则运算，但存在命名歧义、缺少舍入、除零未防护等问题，直接使用前必须修正。实际项目中建议将宏封装为内联函数，加入参数校验，并配合单元测试锁定行为。

本文最初于 2024/5/20 发布在 CSDN。