多种曲线插值方法

问题背景

在动画帧率不足、传感器采样率有限或路径点稀疏时，需要在已知数据点之间估算中间值。插值就是这件事：给定若干控制点，对任意参数位置求出一个平滑过渡的数值。本文讨论五种常见的一维插值方法，从最简单的线性到带张力/偏置控制的 Hermite 曲线，并给出纯 C 参考实现。

所有方法共用一个参数约定：mu 表示当前估计点在两个相邻控制点之间的相对位置，取值为 [0, 1]，0 对应前一个点，1 对应后一个点。以下代码均为简化示例，未做越界检查、未处理 mu 超出 [0,1] 的情况，也未考虑多线程并发访问；实际项目中请根据场景补充边界保护。

线性插值

线性插值是最直接的方法：用一条直线段连接相邻两个数据点，每个线段独立计算。只需两个端点 y1、y2 和参数 mu。

优点是实现极简、计算量最小；缺点是相邻线段在控制点处斜率突变，曲线不光滑（仅 C0 连续）。

double LinearInterpolate(
   double y1,double y2,
   double mu)
{
   return(y1*(1-mu)+y2*mu);
}

余弦插值

线性插值在每个控制点处产生明显的折角。余弦插值利用余弦函数在 [0, π] 区间内从 0 平滑过渡到 1 的特性，将 mu 映射为 mu2 = (1 - cos(mu·π)) / 2，使端点处导数为零，从而消除折角。

它仍然只需要两个端点，但曲线在控制点处切线水平，视觉上比线性平滑。代价是曲线在控制点附近变化较慢，中间段变化较快，整体节奏不如三次方法均匀。

double CosineInterpolate(
   double y1,double y2,
   double mu)
{
   double mu2;

   mu2 = (1-cos(mu*PI))/2;
   return(y1*(1-mu2)+y2*mu2);
}

三次插值

三次插值（Cubic Interpolation）是能提供线段之间真正 C1 连续性的最简方法。它需要当前线段两个端点 y1、y2，以及两侧各一个辅助点 y0、y3，共 4 个点。多项式系数由这 4 个点一次性确定。

边界问题： 序列首段缺少 y0，末段缺少 y3。常见处理方式是：

• 在起点前、终点后各虚拟一个点，其值由端点斜率外推得到；
• 或首末段退化为二次/线性插值。

本文示例代码未处理边界，调用方需自行保证 y0、y3 有效。

double CubicInterpolate(
   double y0,double y1,
   double y2,double y3,
   double mu)
{
   double a0,a1,a2,a3,mu2;

   mu2 = mu*mu;
   a0 = y3 - y2 - y0 + y1;
   a1 = y0 - y1 - a0;
   a2 = y2 - y0;
   a3 = y1;

   return(a0*mu*mu2+a1*mu2+a2*mu+a3);
}

Catmull-Rom 样条

Catmull-Rom 样条是三次插值的一个特例：它在每个端点处用相邻两点的中心差分（即 (y2 - y0) / 2 和 (y3 - y1) / 2）作为切线估计，从而得到更自然的曲线形状。Paul Breeuwsma 给出的系数如下，可直接替换三次插值中的 a0–a3 计算：

   a0 = -0.5*y0 + 1.5*y1 - 1.5*y2 + 0.5*y3;
   a1 = y0 - 2.5*y1 + 2*y2 - 0.5*y3;
   a2 = -0.5*y0 + 0.5*y2;
   a3 = y1;

与通用三次插值相比，Catmull-Rom 的切线幅度减半，过冲（overshoot）通常较小，在路径动画和相机轨迹中较为常用。它同样需要 4 个点，边界处理策略与三次插值一致。

Hermite 插值

Hermite 插值同样需要 4 个点，但额外引入两个控制参数：

• 张力（tension）： 缩放切线幅度。tension = 0 时切线取正常大小；tension = 1 时切线归零，曲线退化为两端斜率为零的 S 形（smoothstep）；tension = -1 时切线加倍，曲线更弯曲。
• 偏置（bias）： 控制曲线在已知点处向哪一侧倾斜。正值偏向前一段，负值偏向后一段。默认 0 表示对称。

通过调节这两个参数，可以在不改变控制点的前提下微调曲线形态，适合需要交互调参的场景。

/*
   Tension: 1 is high, 0 normal, -1 is low
   Bias: 0 is even,
         positive is towards first segment,
         negative towards the other
*/
double HermiteInterpolate(
   double y0,double y1,
   double y2,double y3,
   double mu,
   double tension,
   double bias)
{
   double m0,m1,mu2,mu3;
   double a0,a1,a2,a3;

	mu2 = mu * mu;
	mu3 = mu2 * mu;
   m0  = (y1-y0)*(1+bias)*(1-tension)/2;
   m0 += (y2-y1)*(1-bias)*(1-tension)/2;
   m1  = (y2-y1)*(1+bias)*(1-tension)/2;
   m1 += (y3-y2)*(1-bias)*(1-tension)/2;
   a0 =  2*mu3 - 3*mu2 + 1;
   a1 =    mu3 - 2*mu2 + mu;
   a2 =    mu3 -   mu2;
   a3 = -2*mu3 + 3*mu2;

   return(a0*y1+a1*m0+a2*m1+a3*y2);
}

方法对比与选择建议

选择时可先问两个问题：

1. 能否提供 4 个控制点（含边界虚拟点）？不能则只能选线性或余弦。
2. 是否需要运行时调节曲线形态？需要则选 Hermite。

使用注意事项

• 以上代码均为双精度 double 的一维实现。扩展到二维或三维时，对 x、y（、z）分量分别调用即可，但需注意各分量 mu 一致。
• mu 超出 [0, 1] 时，线性与余弦方法仍可外推，但三次及 Hermite 方法的外推行为可能产生剧烈振荡，生产代码中建议 clamp 或分段处理。
• 代码中未包含 #include <math.h> 及 PI 宏定义，余弦插值需自行补充。
• 所有方法均为确定性计算，无随机性；若用于实时渲染，注意 cos 函数的平台性能差异（ARM 软浮点 vs FPU）。

小结

从线性到 Hermite，插值方法在控制点数量、连续性和可调性之间逐步递进。对于大多数嵌入式动画或路径生成场景，Catmull-Rom 样条在实现复杂度和视觉效果之间取得了较好的平衡；若需要用户可调的曲线形态，Hermite 是自然的选择。实际落地时，别忘了处理序列首尾的边界点，并对 mu 做范围保护。

本文最初于 2023/12/11 发布在 CSDN。